已知可行域y≥0x-y+2≥0x+y-2≤0的外接圆C1与x轴交于点A1、A2，

问题解答题

已知可行域

y≥0

x-y+

≥0

x+y-

≤0

的外接圆C₁与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₂以线段A₁A₂为长轴，离心率e=

（1）求圆C₁及椭圆C₂的方程
（2）设椭圆C₂的右焦点为F，点P为圆C₁上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C₁的位置关系，并给出证明．

答案

（1）由题意可知，可行域是以A1(-

，0)，A2(

，0)及点M(0，

)为顶点的三角形（1分）

因为kA1M•kA2M=-1，所以A1M⊥A2M

∴△A₁A₂M为直角三角形

∴外接圆C₁是以原点O为圆心，线段|A₁A₂|=2

为直径的圆

故其方程为x²+y²=2（3分）

设椭圆的方程为

=1∵2a=2

∴a=

又e=

∴c=1，可得b=1

故椭圆C₂的方程为

+y2=1（5分）

（2）直线PQ始终与圆C₁相切（6分）

设P(x0，y0)(x0≠±

)，则y02=2-x02

当x₀=1时，P（1，1）或P（1，-1），此时Q（2，0）

若P(1，1)时，kOP=1，kPQ=

1-0

1-2

=-1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ

若P(1，-1)时，kOP=-1，kPQ=

-1-0

1-2

=1k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ

即当x₀=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切（8分）

当x0≠1时，kPF=

x0-1

∴，kOQ=-

x0-1

所以直线OQ的方程为，y=-

x0-1

x，因此点Q的坐标为（2，，-

2x0-2

)（9分）

∵kPQ=

2x0-2

-y0

2-x0

2x0-2+y02

y0(x0-2)

x0(2-x0)

y0(2-x0)

（10分）

∴当x₀=0时，k_PQ=0，OP⊥PQ

∴当x0≠0时，kOP=

，

∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ

综上，当x0≠±

时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C₁相切（12分）