（1）由题意，得：D²+E²-4F=16+4m²-4（2m²-2m+1）＞0，

即m²-2m-3＜0，∴（m-3）（m+1）＜0，∴-1＜m＜3，

故所求实数m的范围是-1＜m＜3．

（2）圆的面积最大，即圆的半径最大．

圆的半径r=

1

2

D2+E2-4F

=

1

2

-4m2+8m+12

=

-m2+2m+3

，

∴r=

-(m-1)2+4

，因此当m=1时圆的半径最大，且为2，

所以圆C₁的方程为x²+y²-4x+2y+1=0，标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4．

（3）由（2）可得圆C₁的圆心坐标为（2，-1）、半径等于2，设圆C₂的坐标为（a，b），

则C₁C₂的中点为（

a+2

2

，

b-1

2

），且C₁C₂的斜率为 k=

b+1

a-2

．

由题意可得，直线l垂直平分线段C₁C₂，∴

a+2 2 -  b-1 2 +1 =0 b+1 a-2 =-1

，解得

a=-2 b=3

．

故所求的圆C₂的方程为 （x+2）²+（y-3）²=4．