（1）∵f（x）为奇函数

∴f（0）=0，即b=0，

又f(

1

2

)=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1，

∴f(x)=

x

x2+1

．…（4分）

（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1

即△x=x₂-x₁＞0，

△y=f(x2)-f(x1)=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

，

∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，

∴-1＜x₁x₂＜1，

∴1-x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，

∴(x22+1)(x12+1)＞0，

∴△y＞0，

∴f（x）在（-1，1）上为增函数．

（3）∵f（x）为奇函数

又f（x-1）+f（x）＜0

∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x）…（9分）

又f（x）在（-1，1）上为增函数

∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

，

∴0＜x＜

1

2

，

∴不等式f（x-1）+f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜

1

2

}．…（14分）