解方程x²+2ax+b²=0得，

x₁=

-2a+ (2a)2-4b2

2

=-a+

a2-b2

，

x₂=

-2a- (2a)2-4b2

2

=-a-

a2-b2

，

解方程x²+2cx-b²=0得，

x₃=

-2c+ (2c)2+4b2

2

=-c+

c2+b2

，

x₄=

-2c- (2c)2+4b2

2

=-c-

c2+b2

，

∴方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，

∴①x₁=x₃，-a+

a2-b2

=-c+

c2+b2

；

移项得，c-a=

c2+b2

-

a2-b2

，

∵a≠c，

两边平方、并整理得，ac=

c2+b2

•

a2-b2

，

两边平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），

整理得，c²+b²=a²．

根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．

同理，②x₂=x₄时，得相同结果；

③x₁=x₄时，解得，等式不成立；

④x₂=x₃时，解得，等式不成立．

故三角形为直角三角形．

故选C．