参考答案：

引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x，

有f’(x)-λ[f(x)-x]=1，且f’(x)-λf(x)=1-λx．

由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：

f(x)=e^∫λx{C+∫e^-∫λdx·(1-λx)dx}=e^λx{C+∫e^-λx(1-λx)dx}

=e^λx{C+∫e^-λxdx-∫xe^-λxdx}=e^λx{C+xe^-λx}==Ce^λx+x，

所以[f(x)-x]e^-λx=C，至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e^-λx=-φ(x)e^-λx，

由已知条件及(Ⅰ)中结论，知g(x)也是连续函数，

且g(0)=[f(0)-0]e⁰=0，g(η)=-φ(η)e^-λη=0．

由罗尔定理知存在一点ξ∈(0，η)，使得g’(ξ)=0，

又g’(x)=-λe^-λx[f(x)-x]+e^-λx[f’(x)-1]，

所以-λ[f(ξ)-ξ]+f’(ξ)-1=0

此即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．证毕．

解析：

[考点] 介值定理、罗尔定理