问题
解答题
已知函数f(x)=2x-
（I）求a的值； （II）判断函数的奇偶性； （III）判断函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明． |
答案
（I）由f（1）=3得，2-a=3（2分）
∴a=-1（4分）
（II）由（I）得函数f(x)=2x+
，1 x
则函数f(x)=2x+
的定义域为{x|x≠0}（5分）1 x
∵f(-x)=2(-x)+
=-2x-1 -x
=-(2x+1 x
)=-f(x)（7分）1 x
∴函数f(x)=2x+
为奇函数．（8分）1 x
（III）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则有（9分）
f(x1)-f(x2)=2x1+
-(2x2+1 x1
)1 x2 =2(x1-x2)+(
-1 x1
)1 x2 =2(x1-x2)+(
)x2-x1 x1x2 =(x1-x2)(2-
)1 x1x2 = (x1-x2)(2x1x2-1) x1x2
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2
∴x1-x2＜0，2x1x2-1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（12分）