（1）设圆C的圆心为C（x，y），

依题意圆的半径   r=

x2+(y-a)2

…（2分）

∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．

∴|y|²+a²=r²

故  x²+（y-a）²=|y|²+a²…（4分）

∴x²=2ay

∴圆C的圆心的轨迹方程为x²=2ay…（6分）

（2）∵∠MAN=45°（3），∴∠MCN=90°（4）…（9分）

令圆C的圆心为（x₀，y₀），则有x₀²=2ay₀（y₀≥0），…（10分）

又∵y0=

1

2

|MN|=a…（11分）

∴x0=±

2

a…（12分）

∴r=

x 20 +(y0-a)2

=

2

a…（13分）

∴圆C的方程为  (x±

2

a)2+(y-a)2=2a2…（14分）