已知圆C的方程x2+y2-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．（1

问题解答题

已知圆C的方程x²+y²-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．

（1）证明对任意实数a，圆C必过定点；

（2）求圆心C的轨迹方程；

（3）对a∈R，求面积最小的圆C的方程．

答案

（1）证明：分离参数a，化为x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，

又

x2+y2+2y-4=0

-2x-4y+4=0

，得

x=2

y=0

或

x=-

，∴对任何实数a，圆C必过点A（2，0）、B(-

，

)．

（2）∵D²+E²-4F=4（5a²-8a+5）＞0恒成立，设C的坐标为（x，y），

则圆心C的方程为

x=a

y=2a-1

，消去a，得 2x-y-1=0，∴圆心C的轨迹方程为 2x-y-1=0．

（3）面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，方程是(x-

)2+(y-

)2=

．