问题 填空题
0<m<
1
2
,若
1
m
+
2
1-2m
≥k
恒成立,则k的最大值为______.
答案

令t=

1
m
+
2
1-2m

1
m
+
2
1-2m
≥k恒成立,

∴tmin≥k恒成立

t=

1
m
+
2
1-2m
=
2
2m
+
2
1-2m
=(
2
2m
+
2
1-2m
)(2m+1-2m)
=2(2+
1-2m
2m
+
2m
1-2m

0<m<

1
2

∴2m>0,1-2m>0

1-2m
2m
+
2m
1-2m
≥2(当且仅当
1-2m
2m
=
2m
1-2m
,即m=
1
4
时取等号)

∴t≥8

∴k≤8

∴k的最大值为8

故答案为:8

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