问题
问答题
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵).
答案
参考答案:由代数公式1-ak=(1-a)(1+a+…+ak-1)以及A与E可交换,有E-Ak=(E-A)(E+A+…+Ak-1),而Ak=0,故有(E-A)(E+A+…+Ak-1)=E,可知E-A可逆,且有(E-A)-1=E+A+…+Ak-1.
解析:[考点] 单位矩阵、逆矩阵
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵).
参考答案:由代数公式1-ak=(1-a)(1+a+…+ak-1)以及A与E可交换,有E-Ak=(E-A)(E+A+…+Ak-1),而Ak=0,故有(E-A)(E+A+…+Ak-1)=E,可知E-A可逆,且有(E-A)-1=E+A+…+Ak-1.
解析:[考点] 单位矩阵、逆矩阵