问题
解答题
已知圆C以C(t,
(Ⅰ)若直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标. |
答案
由题知,圆C方程为(x-t)2+(y-
)2=t2+2 t
,4 t2
化简得x2-2tx+y2-
y=04 t
(Ⅰ)∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,
设MN的中点为H,则CH⊥MN.
∴C,H,O三点共线,
则直线OC的斜率k=
=2 t t
=2 t2
⇒t=2或t=-2,1 2
知圆心C(2,1)或C(-2,-1),
所以圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,
直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,不满足直线和圆相交,故舍去.
∴圆C方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(Ⅱ) 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),
则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,
又B′到圆上点Q的最短距离为|B/C|-r=
-(-6)2+32
=35
-5
=25
,5
所以|PB|+|PQ|的最小值为2
,5
直线B′C的方程为y=
x,1 2
则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-
,-4 3
).2 3