问题 解答题
已知圆C以C(t,
2
t
)(t∈R,t≠0)
为圆心且经过原点O.
(Ⅰ)若直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,已知点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
答案

由题知,圆C方程为(x-t)2+(y-

2
t
)2=t2+
4
t2

化简得x2-2tx+y2-

4
t
y=0

(Ⅰ)∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,

设MN的中点为H,则CH⊥MN.

∴C,H,O三点共线,

则直线OC的斜率k=

2
t
t
=
2
t2
=
1
2
⇒t=2或t=-2,

知圆心C(2,1)或C(-2,-1),

所以圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,

由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,

直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,不满足直线和圆相交,故舍去.

∴圆C方程为(x-2)2+(y-1)2=5.   

(Ⅱ) 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),

则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,

又B′到圆上点Q的最短距离为|B/C|-r=

(-6)2+32
-
5
=3
5
-
5
=2
5

所以|PB|+|PQ|的最小值为2

5

直线B′C的方程为y=

1
2
x,

则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-

4
3
,-
2
3
).

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