（1）设圆C的圆心为C（x，y），

依题意圆的半径   r=

x2+(y-a)2

，

∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．

∴|y|²+a²=r²，

故x²+（y-a）²=|y|²+a²，

∴x²=2ay，

∴圆C的圆心的轨迹方程为x²=2ay．

（2）设∠MAN=θ，

|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，

∴m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，

∵S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，

∴

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，

当θ=

π

4

时，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，

∵∠MCN=2∠MAN=

π

2

，

∴点C的坐标为(±

2

a，a)，

故

m

n

+

n

m

的最大值为2

2

，

此时圆C的方程为(x-

2

a)2+(y-a)2=2a2，

或(x+

2

a)2+(y-a)2=2a2．

由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）²=lg（sinA•sinC）．

∴sin²B=sinA•sinC．  

设l₁：a₁x+b₁y+c₁=0，l₂：a₂x+b₂y+c₂=0．

∵

a1

a2

=

sin2A

sin2B

=

sin2A

sinAsinC

=

sinA

sinC

，

b1

b2

=

sinA

sinC

，

c1

c2

=

-a

-c

=

-2RsinA

-2RsinC

=

sinA

sinC

，

∴

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，

∴l₁与l₂重合，

故选A．