已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆 C．（Ⅰ）求实数m

问题解答题

已知方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．

（Ⅰ）求实数m的取值范围；

（Ⅱ）在已知方程表示的所有圆中，能否找到圆C₁，使得圆C₁经过点P（2，1），Q（4，-1）两点，且与圆x²+y²-4x-5=0相切？说出理由．

答案

（I）将方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成标准形式，得

（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3

∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．

∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3

（II）若点P、Q在圆C上，则

22+12-4×2+2m+2m2-2m+1=0

42+(-1)2-4×4-2m+2m 2-2m+1=0

，解之得m=1

∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4

圆心为C₁（2，-1），半径R₁=2

又∵圆C₂：x²+y²-4x-5=0的圆心为C₂（2，0），半径R₂=3，圆心距|CC₂|=1

∴圆心距|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圆C₁与圆C₂相内切

因此存在点C₁（2，-1），使圆C₁与圆x²+y²-4x-5=0相切．