问题
解答题
已知α，β∈R，写出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的关系等式，并证明这个关系等式．
答案
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）
证明：如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则
=（cosα，sinα），OA
=（cosβ，sinβ），OB
由向量数量积的定义，有
•OA
=|OB
|•|OA
|cos＜OB
，OA
＞=cos＜OB
，OA
＞，OB
由向量数量积的坐标表示，有
•OA
=cosαcosβ+sinαsinβ．OB
于是cos＜
，OA
＞=cosαcosβ+sinαsinβ．①------（7分）OB
对于任意的α、β，总可选取适当的整数k，使得 α-β=＜
，OA
＞+2kπ，或α-β=-＜OB
，OA
＞+2kπ，OB
故对于任意的α、β，总有 cos（α-β）=cos＜
，OA
＞成立，带入①式得，OB
对 α、β∈R，总有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．------（12分）
