问题
选择题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对∀x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
，解得a=0，b=-4．3+2a+b=-1 3-2a+b=-1
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±
．2 3 3
所以f（x）在[-
，2 3 3
]内递减，则|t-s|的最大值为2 3 3
，因此②错误；4 3 3
且f（x）的极大值为f（-
）=2 3 3
，极小值为f（16 3 9
）=-2 3 3
，两端点处f（-2）=f（2）=0，16 3 9
所以f（x）的最大值为M=
，最小值为m=-16 3 9
，则M+m=0，因此③正确．16 3 9
故选B．