问题
解答题
已知椭圆C1：
（1）求椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标． |
答案
（1）由题意可知
解得
=c a 3 2 a2=b2+c2
×2a×ab=21 2 6 a= 3 b= 2 c=1
所以椭圆C1的方程是
+x2 3
=1．y2 2
（2）∵|MP|=|MF2|，∴动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C2的方程y2=4x．
（3）∵以OS为直径的圆C2相交于点R，∴以∠ORS=90°，即
•OR
=0．RS
设S （x1，y1），R（x2，y2），
=(x2-x1，y2-y1)，SR
=(x2，y2)．OR
∴
•OR
=x2（x2-x1）+y2（y2-y1）=SR
+y2(y2-y1)=0，
(y 22
-y 22
)y 21 16
∵y1≠y2，y2≠0，化简得y1=-(y2+
)，16 y2
∴
=y 21
+y 22
+32≥2256 y 22
+32=64，
•y 22 256 y 22
当且仅当
=y 22
，即256 y 22
=16，y2=±4时等号成立．y 22
圆的直径|OS|=
=
+x 21 y 21
=
+y 41 16 y 21 1 4
=
+16y 41 y 21 1 4
，(
+8)2-64y 21
∵
≥64，∴当y 21
=64，y1=±8，|OS|min=8y 21
，5
所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．