（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f(x)=x+

2

x

，x≠0 满足

∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x），

函数f(x)=x+

2

x

，x≠0是奇函数． （5分）

（2）设 0＜x₁＜x₂＜

2

，则 f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-（x2+

2

x2

 ）

=（x₁-x₂）-

2(x1-x2)

x1•x2

=（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）．

由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1•x2

 ）＜0，

∴（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，

2

）上单调递减．

 设

2

＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ），

由

2

＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1•x2

 ）＞0，

∴（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（

2

，+∞）上单调递增．（10分）

（3）由于函数在（1，

2

）上单调递减，在[

2

，4]上单调递增，

故当x=

2

时，函数有最小值等于f(

2

)=

2

+ 

2

2

=2

2

．

又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+

2

4

=

9

2

，故函数在[1，4]上的最大值为

9

2

．（14分）