问题
解答题
已知关于x的方程7x3-7（p+2）x2+（44p-1）x+2=60p（*）
①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．
②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．
③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值．
答案
①原方程整理得：（7x3-14x2-x+2）-（7x2-44x+60）p=0
解方程7x2-44x+60=0得x1=2，x2=
，30 7
当x=2时，7x3-14x2-x+2=0，故所求自然数为2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴（x-2）是方程的一个因式，原方程分解为，
（x-2）（7x2-7px+30p-1）=0
∴u、v是方程7x2-7px+30p-1=0的两根，
∴u+v=p，uv=
．30p-1 7
③由②可知，当p=18时，方程三个根均为自然数．