问题
解答题
在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的取值范围．
答案
（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
∴由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），又A+B+C=π，
∴2sinBcosB=sin（π-B）=sinB，sinB＞0，
∴cosB=
，B∈（0，π），1 2
∴B=
．π 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=
，π 3
∴A+C=
，2π 3
∴C=
-A，2π 3
又△ABC为锐角三角形，
∴0＜C=
-A＜2π 3
，0＜A＜π 2
，π 2
解得
＜A＜π 6
．π 2
∴2sin2A+cos（A-C）
=1-cos2A+cos（2A-
）2π 3
=1-cos2A-
cos2A+1 2
sin2A3 2
=
sin2A-3 2
cos2A+13 2
=
sin（2A-3
）+1，π 3
∵
＜A＜π 6
，π 2
∴0＜2A-
＜π 3
，2π 3
∴0＜sin（2A-
）≤1，π 3
∴1＜
sin（2A-3
）+1≤π 3
+1，3
∴2sin2A+cos（A-C）的取值范围为（1，
+1]．3