圆心在直线y=x上的圆M经过点（2，0），且在x轴上截得的弦长为4，

问题填空题

圆心在直线y=x上的圆M经过点（2，0），且在x轴上截得的弦长为4，则圆M的标准方程为______（只要求写出一个即可）．

答案

由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=r²，将y=0代入得：x²-2ax+2a²=r²

∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=2a²-r²，

∴弦长=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=4，

代入可得：7a²-4r²+16=0 ①

再将点（2，0）代入方程（x-a）²+（y-a）²=r²，

得2a²-2a+4-r²=0…②，

联立①②即可解出a=0、r=2，或a=8，r²=116

于是方程为：x²+y²=4或（x-8）²+（y-8）²=116．

故答案为：x²+y²=4或（x-8）²+（y-8）²=116．