问题
填空题
| 下列说法中： ①若函数f（x）=ax2+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2； ②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1； ③已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数； ④设lg2=a，lg3=b那么可以得到log56=
⑤函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（0，2），其中正确说法的序号是______（注：把你认为是正确的序号都填上）． |
答案
对于①，∵f（x）=ax2+（2a+b）x+2是二次函数，且图象关于直线x=-
对称，2a+b 2a
∴2a-1+a+4=0且-
=0，解之得a=-1，b=2，故①正确；2a+b 2a
对于②，f（x）=
，-2x+2 0≤x≤3 -2x2+4x+2 x＜0或x＞3
可得当x∈（∞，0）时，函数f（x）为增函数；当x∈（0，3）时，函数f（x）为减函数；
当x∈（3，+∞）时，函数f（x）为减函数
∴当x=0时，函数f（x）的最大值为f（0）=2，故②不正确；
对于③，对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．故③正确；
对于④，lg2=a，lg3=b，则log56=
=lg6 lg5
=lg2+lg3 1-lg2
，故④正确；a+b 1-a
对于⑤，因为0＜3+2x-x2=-（x-1）2+4≤4，
所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log24=2，故函数函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（-∞，2），故⑤不正确．
故答案为：①③④
