问题 填空题
下列说法中:
①若函数f(x)=ax2+(2a+b)x+2(x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数b=2;
②f(x)表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者,则函数f(x)的最大值为1;
③已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),则f(x)是奇函数;
④设lg2=a,lg3=b那么可以得到log56=
a+b
1-a

⑤函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是(0,2),其中正确说法的序号是______(注:把你认为是正确的序号都填上).
答案

对于①,∵f(x)=ax2+(2a+b)x+2是二次函数,且图象关于直线x=-

2a+b
2a
对称,

∴2a-1+a+4=0且-

2a+b
2a
=0,解之得a=-1,b=2,故①正确;

对于②,f(x)=

-2x+2   0≤x≤3
-2x2+4x+2   x<0或x>3

可得当x∈(∞,0)时,函数f(x)为增函数;当x∈(0,3)时,函数f(x)为减函数;

当x∈(3,+∞)时,函数f(x)为减函数

∴当x=0时,函数f(x)的最大值为f(0)=2,故②不正确;

对于③,对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),取x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0

再取x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0,

最后取y=-1,得f(-x)=xf(-1)-f(x),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.故③正确;

对于④,lg2=a,lg3=b,则log56=

lg6
lg5
=
lg2+lg3
1-lg2
=
a+b
1-a
,故④正确;

对于⑤,因为0<3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,

所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log24=2,故函数函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是(-∞,2),故⑤不正确.

故答案为:①③④

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