问题
解答题
| （1）选修4-2矩阵与变换： 已知矩阵M=
①求实数a的值； ②求矩阵M的特征值及其对应的特征向量． （2）选修4-4参数方程与极坐标： 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
①求圆的普通方程，并求出圆心与半径； ②求实数m的值． |
答案
（1）①∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．
∴2 a 2 1
=1 -2
，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）-4 0
②由①知M=
，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=|2 3 2 1
|=λ2-3λ-4（5分）λ-2 -3 -2 λ-1
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．（6分）
当λ=-1时，∵
，∴x+y=0(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
； （8分）1 -1
当λ=4时，∵
，∴2x-3y=0(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为
． （10分）3 2
（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，圆心坐标为（2，0），半径R=2．
②直线l的普通方程为y=x-m，则圆心到直线l的距离d=
=4-(
)214 2 2 2
所以
=|2-0-m| 2
，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．2 2