问题
解答题
设函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，且对任意x，y都有f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时，f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（2）的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．
答案
（1）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（2）f（x）在（-3，3）上是减函数．
证明：在（-3，3）上任取x1，x2，且x1＜x2，则x1-x2＜0，
令x=x1，y=x2，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x1）-f（x2）=f（x1-x2），
∵当x＜0时，f（x）＞0，且x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-3，3）上是减函数．
（3）由函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函数f（x） 在（-3，3）上是减函数，
则有
，解得0＜x≤2．x-1≥2x-3 -3＜x-1＜3 -3＜2x-3＜3
∴不等式g（x）≤0的解集为{x|0＜x≤2}．