记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小

问题解答题

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．

（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；

（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；

（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．

答案

（Ⅰ）0≤p≤2⇒-1≤-

≤0，又f（x）图象开口向上，

∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-

)=q-

∴h(p)=M-m=

(p+2)2≥1（4分）

（Ⅱ）h(p)=

-2p

(p＜-2)

(p-2)2，

(-2≤p＜0)

(p+2)2，

(0≤p≤2)

2p，

，

(p＞2)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=

-2p＞4

(p＜-2)

(p-2)2＞1，

(-2≤p＜0)

(p+2)2≥1，

(0≤p≤2)

2p＞4，

，

(p＞2)

，∴M-m≥1．

∵在[-1，1]上，总有|f(x)|max≥

M-m

，当且仅当M=-m时取”=”；

又，

M-m

≥

，当且仅当p=0时取“=”，

∴当

M-m

时的f（x）符合条件．

此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-

即所求函数为：f（x）=x2-

．（13分）