问题
解答题
| 已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）． （1）求f（0）的值； （2）证明f(-x)=-
（3）证明函数y=f（x） 是R上的增函数． |
答案
（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得f(-x)=-
．1 f(x)
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x2-x1）＞1，
f（x2）=f（x1）f（x2-x1）⇒f（x2）÷f（x1）=f（x2-x1）＞1，
又f（
x1+1 2
x1）=f（1 2
x1）f（1 2
x1）=f 2（1 2
x1）≥0⇒f（x1）≥0，1 2
故有f（x2）＞f（x1）
所以 f（x）是R上增函数．