问题 解答题

已知关于x的方程x2+x+a-a2=0和x2-(3a-1)x+(2a+1)(a-2)=0.问是否存在这样的a值,使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根?若存在,求出这样的a值;若不存在,请说明理由.

答案

第一个方程x2+x+a-a2=0,即有(x+a)(x+1-a)=0,

∴x1=-a,x2=a-1,

故x12+x22=a2+(a-1)2=2a2-2a+1,

由第二方程x2-(3a-1)x+(2a+1)(a-2)=0,

得[x-(2a+1)][x-(a-2)]=0,

x3=2a+1,x4=a-2,

若x3为整数,则2a2-2a+1=2a+1,解得a=0或2,此时x3=1或5,

若x4为整数,则2a2-2a+1=a-2,即2a2-3a-3=0,此方程无实数根,

综上可知,当a=0或2时,第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根.

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