∵f（x）=2^x-1-

1

2x+1

=

1

2

•2^x-

1

2

•2^-x=

1

2

（2^x-2^-x），x∈R；

∴f（-x）=

1

2

（2^-x-2^x）=-

1

2

（2^x-2^-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函数；

又f′（x）=

1

2

（2^xln2+2^-xln2）＞0，

∴f（x）是定义域上的增函数；

A中，y=e^x是非奇非偶的函数，可以排除；

C中，y=x²是偶函数，可以排除；

D中，y=tanx在定义域{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}上无单调性，可以排除；

故选：B．