问题
解答题
已知方程x2+y2+x-6y+m=0，
（1）若此方程表示的曲线是圆C，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过点（-2，4）作直线与圆C交于M，N两点，若|MN|=4，求直线MN的方程．
答案
（1）方程x2+y2+x-6y+m=0即 (x+
)2+(y-3)2= 1 2
-m，∴37 4
-m＞0，解得 m＜37 4
．37 4
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∵OP⊥OQ，故 x1•x2+y1•y2=0 ①．
由
得 5y2-20y+12+m=0，∴y1+y2=4，y1•y2=x2+y2+x-6y+m=0 x+ 2y -3=0
．12+m 5
∴x1•x2=（3-2y1）（3-2y2）=9-6（y1+y2）+4y1•y2．
代入①可得5y1•y2-6（y1+y2）+9=0，解得m=3，满足△＞0．
圆C的方程为：(x+
)2+(y-3)2=1 2
．25 4
（3）当直线MN垂直x轴时，直线MN的方程为：x=2，此时，直线MN与圆的焦点分别为（-2，1）和（-2，5），
满足|MN|=4．
当直线MN不垂直x轴时，设直线MN斜率为k，直线MN的方程为：y-4=k（x+2），即 kx-y+2k+4=0．
把直线MN的方程代入圆的方程化简可得（ k2+1）x2+（4k2+2k+1）x+（k2+4k-5）=0．
故 x3+x4=-
，x3•x4=4k2+2k+1 k2+1
．k2+4k-5 k2+1
由弦长公式可得 4=
•|x3 -x4|=k2+1
•k2+1
，(x3 +x4)2-4x3 •x4
解得k=
，5 12
故所求的直线MN的方程为 5x-12y=58=0．