C。

矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。

【分析】如图，连接AC．BD，

在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD。

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC。

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE。

∴四边形EFGH为菱形。故选C。