问题
解答题
已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-
(1)求f(-2)的值; (2)当x<0时,求f(x)的解析式; (3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数. |
答案
(1)∵函数f(x)为奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
x>0时,f(x)=1-1 x
∴f(-2)=-f(2)=-
…(4分)1 2
(2)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=1-
=1+1 -x
…(6分)1 x
∵函数f(x)为奇函数
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-1-
…(9分)1 x
(3)证明:任意0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-
+1-(-1 x1
+1)1 x2
=
-1 x2
=1 x1
.x1-x2 x1x2
∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,
∴
<0,即f(x1)<f(x2),x1-x2 x1x2
故f(x)在(0,+∞)上为增函数.