问题 解答题
已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-
1
x

(1)求f(-2)的值;
(2)当x<0时,求f(x)的解析式;
(3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
答案

(1)∵函数f(x)为奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

x>0时,f(x)=1-

1
x

f(-2)=-f(2)=-

1
2
…(4分)

(2)设x<0,则-x>0,

f(-x)=1-

1
-x
=1+
1
x
…(6分)

∵函数f(x)为奇函数

∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-1-

1
x
…(9分)

(3)证明:任意0<x1<x2

f(x1)-f(x2)=-

1
x1
+1-(-
1
x2
+1)

=

1
x2
-
1
x1
=
x1-x2
x1x2

∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,

x1-x2
x1x2
<0,即f(x1)<f(x2),

故f(x)在(0,+∞)上为增函数.

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