问题
解答题
若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x-
（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由． |
答案
（1）不是，
解方程x2+x-12=0得，x1=3，x2=-4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb2+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-
，3 4
∴c=-
b2．3 4
∵x2+3x-
=0是偶系二次方程，27 4
当b=3时，c=-
×32．3 4
∴可设c=-
b2．3 4
对于任意一个整数b，c=-
b2时，3 4
△=b2-4ac，
=4b2．
x=
，-b±2b 2
∴x1=
b，x2=3 2
b．1 2
∴|x1|+|x2|=2b，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-
b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．3 4