问题 解答题

已知圆C过两点A(1,-1),B(2,-2),且圆心C在直线2x-y-4=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)设P是直线3x-4y-5=0上的动点,PM,PN是圆C的两条切线,切点分别为M,N,求四边形PMCN面积的最小值.

答案

(1)设圆心坐标为(a,2a-4),则

∵圆C过两点A(1,-1),B(2,-2),

(a-1)2+(2a-3)2
=
(a-2)2+(2a-2)2

∴a=1,∴圆心坐标为(1,-2)圆的半径为1

∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=1;

(2)由题意过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N,

可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和,因为CM⊥PM,CM=1,

显然PM最小时,四边形面积最小,此时PC最小

∵P是直线3x-4y-5=0上的动点,

∴PC最小值=

|3+8-5|
9+16
=
6
5

∴PM最小值=

36
25
-1
=
11
5

∴四边形PMCN面积的最小值为

1
2
×
11
5
×1=
11
5

多项选择题
单项选择题