问题
解答题
已知圆C过两点A(1,-1),B(2,-2),且圆心C在直线2x-y-4=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设P是直线3x-4y-5=0上的动点,PM,PN是圆C的两条切线,切点分别为M,N,求四边形PMCN面积的最小值.
答案
(1)设圆心坐标为(a,2a-4),则
∵圆C过两点A(1,-1),B(2,-2),
∴
=(a-1)2+(2a-3)2 (a-2)2+(2a-2)2
∴a=1,∴圆心坐标为(1,-2)圆的半径为1
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=1;
(2)由题意过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N,
可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和,因为CM⊥PM,CM=1,
显然PM最小时,四边形面积最小,此时PC最小
∵P是直线3x-4y-5=0上的动点,
∴PC最小值=
=|3+8-5| 9+16
,6 5
∴PM最小值=
=
-136 25 11 5
∴四边形PMCN面积的最小值为2×
×1 2
×1=11 5
.11 5