（1）因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），

所以圆的方程为（x-a）²+（y-a-1）²=r²．

因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），

所以，

(1-a)2+(3-a-1)2=r2 (5-a)2+(1-a-1)2=r2

，即

2a2-6a+5=r2 2a2-10a+25=r2

，

解得：

a=5 r=5

．

所以，圆C的方程为（x-5）²+（y-6）²=25；

（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0

当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．

当l的方程为y=kx+3，即kx-y+3=0时，

圆心C到直线l的距离为d=

|5k-6+3|

k2+1

=5，解得：k=-

8

15

．

所以，l的方程为y=-

8

15

x+3，即8x+15y-45=0．

所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y-45=0．