问题
解答题
已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m：3x-y=0平分圆的面积．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点D（0，-1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围．
答案
（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1），kAB=
=13-(-1) 5-1
故线段AB中垂线的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0（2分）
由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上
又直线3x-y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心
由
解得x+y-4=0 3x-y=0
即圆心的坐标为C（1，3），（4分）x=1 y=3
而圆的半径r=|AC|=
=4(1-1)2+[3-(-1)]2
故圆C的方程为（x-1）2+（y-3）2=16（6分）
（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx-1（18分）
由
消去y得（1+k2）x2-（8k+2）x+1=0y=kx-1 (x-1)2+(y-3)2=16
由已知直线l与圆C有两个不同的公共点
故△=（8k+2）2-4（1+k2）＞0，即15k2+8k＞0
解得：k＜-
或k＞0（12分）8 15