问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-
（Ⅰ）求圆O的方程； （Ⅱ）直线l：y=kx+3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由． |
答案
（本小题共13分）
（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x-
y-4=0与圆O相切，3
∴d=r=
=2，…（3分）|0-
×0-4|3 1+3
则圆O的方程为x2+y2=4；…（5分）
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=
＜r=2，3 1+k2
解得：k＞
或k＜-5 2
，…（7分）5 2
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，…（8分）
则OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=
|OM|=1，…（10分）1 2
即d=
=1，整理得：k2=8，…（11分）3 1+k2
解得：k=±2
，经验证满足条件，…（12分）2
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x0，y0），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=-
x，…（7分）1 k
将直线l与直线OM联立得：
，y=kx+3 y=-
x1 k
解得：
，x0= -3k k2+1 y0= 3 k2+1
∴点M坐标为（
，-6k k2+1
），…（9分）6 k2+1
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（
）2+（-6k k2+1
）2=4，6 k2+1
解得：k2=8，…（11分）
解得：k=±2
，经验证满足条件，…（12分）2
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形．…（13分）