问题
解答题
平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程； （2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程； （3）问是否存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线m的方程；若不存在，说明理由． |
答案
（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=
，直线截圆所得的弦长为1 2
，6
∴圆O的半径r=
=(
)2+(1 2
)26 2
，2
则圆O的方程为x2+y2=2；
（2）设直线l的方程为
+x a
=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，y b
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即
=|ab| a2+b2
，2
整理得：
+1 a2
=1 b2
，1 2
则DE2=a2+b2=2（a2+b2）•（
+1 a2
）=2（2+1 b2
+b2 a2
）≥8，a2 b2
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0；
（3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：
设存在斜率为2的直线m满足题意，
设直线m为y=2x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立圆与直线解析式得：
，x2+y2=2 y=2x+b
消去y得：5x2+4bx+b2-2=0，
依题意得：x1+x2=-
，x1x2=4b 5
，△＞0，b2-2 5
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴
⊥OA
，∴x1x2+y1y2=0，OB
即x1x2+（2x1+b）（2x2+b）=5x1x2+2b（x1+x2）+b2=5×
+2b×（-b2-2 5
）+b2=0，4b 5
整理得：b2=5，
解得：b=±
，经检验△＞0，符合题意，5
则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x±
．5