由A（5，1），B（1，3），

得到直线AB的方程为：y-3=

3-1

1-5

（x-1），即x+2y-7=0，

则直线AB的斜率为-

1

2

，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，

又设线段AB的中点为D，则D的坐标为（

5+1

2

，

1+3

2

）即（3，2），

所以线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，

令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为（2，0），

而圆的半径r=|AC|=

(5-2)2+(1-0)2

=

10

，

综上，圆C的方程为：（x-2）²+y²=10．

故答案为：（x-2）²+y²=10