问题
解答题
已知定义域为（-1，1）的函数f(x)=
（Ⅰ）判断函数f（x）奇偶性并加以证明； （Ⅱ）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明； （Ⅲ）解关于x的不等式f（x-1）+f（x）＜0． |
答案
（I）f（x）为定义域上的奇函数，证明如下：
定义域为（-1，1），关于原点对称，
又f（-x）=
=-x (-x)2+1
=-f（x），-x x2+1
∴f（x）为奇函数；
（II）f（x）在（-1，1）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-x1 x12+1 x2 x22+1
=x1(x22+1)-x2(x12+1) (x12+1)(x22+1)
=
，(x2-x1)(x1x2-1) (x12+1)(x22+1)
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2-1＜0，x12+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增；
（III）由（Ⅰ）知，f（x）为奇函数，
∴f（x-1）+f（x）＜0等价于f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
由（Ⅱ）知f（x）单调递增，
∴
，解得0＜x＜x-1＜-x -1＜x-1＜1 -1＜x＜1
，1 2
∴不等式的解集为：(0，
)；1 2