问题
解答题
设函数f（x）=x+
（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明； （2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围； （3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围． |
答案
（1）由p=4知，f（x）=x+
，f（x）在（0 2）内是减函数．4 x
证明：任意设 0＜x1＜x2＜2，
由于f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+4 x1
）=-（x2-x1）+4 x2 4(x2-x1) x1•x2
=（x2-x1）（
-1）=（x2-x1）•4 x1•x2
．4-x1•x2 x1•x2
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴
＞0，4-x1•x2 x1•x2
故f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x1＜x2＜2，
则可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
＞0．p-x1•x2 x1•x2
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+
，8 x
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+
=6，即 f（x）＞6．8 2
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．