问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域； （2）当a＞0时，判断函数f（x）的单调性，并证明． |
答案
（1）当a=1时，f（x）=
，∵x≠0，∴1 x
≠0，∴f（x）的值域（-∞，0）∪（0，+∞）1 x
（2）当a＞0时，f（x）=
，其中x≠0，f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）的每一个区间上都是减函数，a x
证明如下：任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
-a x1
=a x2
；a(x2-x1) x1x2
∵a＞0，0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，∴
＞0；a(x2-x1) x1x2
∴f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，+∞）上是减函数；
同理可证f（x）在（-∞，0）上也是减函数．