问题 填空题

平面直角坐标系中,已知点A(1,-2),B(4,0),P(a,1),N(a+1,1),当四边形PABN的周长最小时,过三点A、P、N的圆的圆心坐标是______.

答案

四边形PABN的周长为

C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2
+
(4-1)2+(0+2)2
+
(a-3)2+(1-0)2
+1

=

(a-1)2+(1+2)2
+
(a-3)2+(1-0)2
+
13
+1,

只需求出

(a-1)2+(1+2)2
+
(a-3)2+(1-0)2
的最小值时的a值.

由于

(a-1)2+(1+2)2
+
(a-3)2+(1-0)2
=
(a-1)2+(0-3)2
+
(a-3)2+(0-1)2

表示x轴上的点(a,0)与(1,3)和(3,1)距离之和,只需该距离之和最小即可.

利用对称的思想,可得该距离之和的最小值为(1,-3)与(3,1)间的距离,

且取得最小的a值为E(1,-3)与F(3,1)确定的直线与x轴交点的横坐标,

∵直线EF的斜率k=

1+3
3-1
=2,∴直线EF方程为y+3=2(x-1),化简得y=2x-5,

令y=0,得x=

5
2
,所以此时a值为
5
2

由以上的讨论,得四边形PABN的周长最小时,P(

5
2
,1),N(
7
2
,1)

设过三点A、P、N的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

可得

12+(-2)2+D-2E+F=0
(
5
2
)
2
+12+
5
2
D+E+F=0
(
7
2
)2+12+
7
2
D+E+F=0
,解之得D=-6,E=
9
4
,F=
11
2

∴过三点A、P、N的圆方程为x2+y2-6x+

9
4
y+
11
2
=0,可得圆坐标为(3,-
9
8

故答案为:(3,-

9
8

单项选择题
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