平面直角坐标系中,已知点A(1,-2),B(4,0),P(a,1),N(a+1,1),当四边形PABN的周长最小时,过三点A、P、N的圆的圆心坐标是______.
四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=
+(a-1)2+(1+2)2
+(4-1)2+(0+2)2
+1(a-3)2+(1-0)2
=
+(a-1)2+(1+2)2
+(a-3)2+(1-0)2
+1,13
只需求出
+(a-1)2+(1+2)2
的最小值时的a值.(a-3)2+(1-0)2
由于
+(a-1)2+(1+2)2
=(a-3)2+(1-0)2
+(a-1)2+(0-3)2
,(a-3)2+(0-1)2
表示x轴上的点(a,0)与(1,3)和(3,1)距离之和,只需该距离之和最小即可.
利用对称的思想,可得该距离之和的最小值为(1,-3)与(3,1)间的距离,
且取得最小的a值为E(1,-3)与F(3,1)确定的直线与x轴交点的横坐标,
∵直线EF的斜率k=
=2,∴直线EF方程为y+3=2(x-1),化简得y=2x-5,1+3 3-1
令y=0,得x=
,所以此时a值为5 2 5 2
由以上的讨论,得四边形PABN的周长最小时,P(
,1),N(5 2
,1)7 2
设过三点A、P、N的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
可得
,解之得D=-6,E=12+(-2)2+D-2E+F=0 (
)2+12+5 2
D+E+F=05 2 (
)2+12+7 2
D+E+F=07 2
,F=9 4 11 2
∴过三点A、P、N的圆方程为x2+y2-6x+
y+9 4
=0,可得圆坐标为(3,-11 2
)9 8
故答案为:(3,-
)9 8