（1）证明：∀实数x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．

又∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，

∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）．

∴f（x₂）＞f（x₁）．

∴f（x）在R上是增函数．

（2）令a=b=2，则f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．

不等式f（3m²-4）＜3．化为f（3m²-4）＜f（2）．

由（1）可得：f（x）在R上是增函数．

∴3m²-4＜2，化为m²＜2，解得-

∴不等式f（3m²-4）＜3的解集为(-

（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，

化为m²+m-5＜1，

∵f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），及由（1）可得：f（x）在R上是增函数．

∴f（1）=2．

∴f（2）=f（1+1）=2f（1）-1=3，

∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5，

∴f（6）=f（2）+f（4）-1=3+5-1=7．

故f（6）=7．