问题
填空题
已知关于x的方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为______．
答案
∵x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0，
⇒（x4+2x3+x2）+[（2+k）x2+（2+k）x]+2k=0，
⇒x2（x2+2x+1）+（2+k）（x2+x）+2k=0，
⇒x2（x+1）2+（2+k）（x2+x）+2k=0，
⇒（x2+x）2+（2+k）（x2+x）+2k=0，
⇒（x2+x+2）（x2+x+k）=0，
∵x2+x+2=（x+
）2+1 2
≠0，7 4
∴只能是x2+x+k=0，
∵方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0所有实根的乘积为-2，
∴k=-2，即原方程实根的解等价于x2+x-2=0，
∴两实根是-2、1，
所有实根的平方和=（-2）2+12=5．
故答案为：5．