问题
解答题
已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
（I）若cos
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
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答案
（I）由cos
cosφ-sinπ 4
sinφ=0得cos3π 4
cosφ-sinπ 4
sinφ=0π 4
即cos(
+φ)=0又|φ|＜π 4
，∴φ=π 2 π 4
（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
)依题意，π 4
=T 2
又T=π 3
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+2π ω
)π 4
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
]g（x）是偶函数当且仅当3m+π 4
=kπ+π 4
(k∈Z)即m=π 2
+kπ 3
(k∈Z)从而，最小正实数m=π 12 π 12
解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
)，依题意，π 4
=T 2
又T=π 3
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+2π ω
)π 4
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
]，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立π 4
亦即sin(-3x+3m+
)=sin(3x+3m+π 4
)对x∈R恒成立．∴sin(-3x)cos(3m+π 4
)+cos(-3x)sin(3m+π 4
)=sin3xcos(3m+π 4
)+cos3xsin(3m+π 4
)π 4
即2sin3xcos(3m+
)=0对x∈R恒成立．∴cos(3m+π 4
)=0π 4
故3m+
=kπ+π 4
(k∈Z)∴m=π 2
+kπ 3
(k∈Z)从而，最小正实数m=π 12 π 12