问题
选择题
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(
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答案
由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+∅)=sin(ωx+∅),
所以-cosφsinωx=cosφsinωx,
对任意x都成立,且ω>0,所以得cosφ=0.
依题设0<φ<π,所以解得φ=
,π 2
由f(x)的图象关于点M对称,得f(
-x)=-f(3π 4
+x),3π 4
取x=0,得f(
)=sin(3π 4
+3ωπ 4
)=cosπ 2
,3ωπ 4
∴f(
)=sin(3π 4
+3ωπ 4
)=cosπ 2
,∴cos3ωπ 4
=0,3ωπ 4
又ω>0,得
=3ωπ 4
+kπ,k=1,2,3,π 2
∴ω=
(2k+1),k=0,1,2,2 3
当k=0时,ω=
,f(x)=sin(x+2 3
)在[0,π 2
]上是减函数,满足题意;π 2
当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+
)在[0,π 2
]上是减函数;π 2
当k=2时,ω=
,f(x)=(10 3
x+10 3
)在[0,π 2
]上不是单调函数;π 2
所以,综合得ω=
或2.2 3
故选D.