问题 选择题
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(
4
,0)
对称,且在区间[0,
π
2
]
上是单调函数,则ω的值为(  )
A.
1
3
或2
B.
1
3
3
2
C.
2
3
3
2
D.
2
3
或2
答案

由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+∅)=sin(ωx+∅),

所以-cosφsinωx=cosφsinωx,

对任意x都成立,且ω>0,所以得cosφ=0.

依题设0<φ<π,所以解得φ=

π
2

由f(x)的图象关于点M对称,得f(

4
-x)=-f(
4
+x),

取x=0,得f(

4
)=sin(
3ωπ
4
+
π
2
)=cos
3ωπ
4

∴f(

4
)=sin(
3ωπ
4
+
π
2
)=cos
3ωπ
4
,∴cos
3ωπ
4
=0,

又ω>0,得

3ωπ
4
=
π
2
+kπ,k=1,2,3,

∴ω=

2
3
(2k+1),k=0,1,2,

当k=0时,ω=

2
3
,f(x)=sin(x+
π
2
)在[0,
π
2
]上是减函数,满足题意;

当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+

π
2
)在[0,
π
2
]上是减函数;

当k=2时,ω=

10
3
,f(x)=(
10
3
x+
π
2
)在[0,
π
2
]上不是单调函数;

所以,综合得ω=

2
3
或2.

故选D.

判断题
填空题