（I）令x=0得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x²+2x+b，由题意b≠0，

且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．

即实数b的取值范围 {b|b＜1，且b≠0 }．

（II）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则此圆和坐标轴有3个交点，

即f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点．

令y=0得，x²+Dx+F=0，由题意可得，这与x²+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．

令x=0得，y²+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E=-b-1，

所以圆C的一般方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．

（III）圆C过定点（0，1）和（-2，1）． 证明如下：

法1，直接将点的坐标代入验证，可得点（0，1）和（-2，1）的坐标是

圆的方程x²+y²+2x-（b+1）y+b=0 的解，

故圆C过定点（0，1）和（-2，1）．

法2，圆C的方程改写为x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令

解得