问题
解答题
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式； （Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和； （Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
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答案
（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（
+π 12
）=π，而T=π 6
，则ω=2，2π ω
又x=-
时，y=0，所以sin（2×（-π 6
）+φ）=0，而-π 6
＜φ＜π 2
，则φ=π 2
，π 3
所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+
）；π 3
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+
）的周期为π，π 3
f（x）=sin（2x+
）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+π 3
）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，π 3
x1+x2=
π，x3+x4=7 6
π，19 6
故所有实数根之和为
π；13 3
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-
）+1，π 3
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤
．1 5