已知圆C的半径为2，圆心C在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切．

问题解答题

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点P（0，-3）的直线l与圆C交于不同两点A、B，且弦AB的垂直平分线m过点Q（3，-3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（I）设圆心为C（a，0）（a＞0），则圆C的方程为（x-a）²+y²=4

∵圆C与3x-4y+4=0相切，∴

|3a+4|

32+42

=2，即|3a+4|=10，

解得a=2或a=-

（舍去），

∴圆C的方程为（x-2）²+y²=4．

（II）假设符合条件的直线l存在，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-3，

∵直线l与圆相交于不同两点，则圆心C到直线l的距离d=

|2k-3|

k2+1

＜r=2，解得k＞

，

直线m的方程为y+3=-

(x-3)，即x+ky+3k-3=0．

由于直线m垂直平分弦AB，故圆心C（2，0）必在直线m上，解得k=

．

而

∉(

，+∞)，

故不存在直线l，使得过点Q（3，-3）的直线m垂直平分弦AB．