A选项中函数f（x）=x²图象是开口向上，对称轴为y轴，顶点在原点的抛物线，

当x∈（-1，0）时为减函数，当x∈（0，1）时为增函数，不符合条件．

B选项中函数f（x）=-x²图象是开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点的抛物线，

当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为减函数，不符合条件．

C选项中函数是分段函数，图象如图所示，

由图可知，当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为增函数，

但当x∈（-1，1）时既不是增函数，也不是减函数，符合条件．

D选项中函数也是分段函数，图象如图（2）所示，

当x∈（-1，0）时为增函数，当x∈（0，1）时为增函数，且当x∈（-1，1）时也为增函数所以D选项不符合条件．

故选C