证明：如图所示，连接OE，OF，

因为△ABC为等边三角形，

所以∠ABC=∠ACB=60°，

又因为∠B，∠C的平分线交于点O，

所以∠OBE=∠OCF=30°，

因为OB，OC的垂直平分线分别交BC于E，F，

所以BE=OE，OF=CF，

所以∠BOE=∠OBE=30°，∠COF=∠OCF=30°，

所以∠OEF=∠OFE=60°，

所以OE=OF=EF，

所以BE=EF=FC。